Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是正方形，且BF⊥平面ACE，我們可以證得BF⊥AE，CB⊥AE，進而由線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE．
（2）連接BD與AC交于G，連接FG，設正方形ABCD的邊長為2，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，可得∠BGF是二面角B-AC-E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案．

解答：證明：（1）∵BF⊥平面ACE
∴BF⊥AE…（2分）
∵二面角D-AB-E為直二面角，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE
∴CB⊥AE…（4分）
∴AE⊥平面BCE．…（6分）
解：（2）連接BD與AC交于G，連接FG，設正方形ABCD的邊長為2，
∴BG⊥AC，BG=

2

，…（7分）
∵BF垂直于平面ACE，由三垂線定理逆定理得FG⊥AC
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角…（9分）
由（1）AE⊥平面BCE，得AE⊥EB，
∵AE=EB，BE=

2

．
∴在Rt△BCE中，EC=

BC2+BE2

=

6

，…（10分）
由等面積法求得BF=

BC•BE

EC

=

2× 2

6

=

2 3

3

，
則GF=

GB2-BF2

=

2 3

=

6

3

∴在Rt△BFG中，cos∠BGF=

GF

GB

=

6 3

2

=

3

3

故二面角B-AC-E的余弦值為

3

3

．…（14分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得BF⊥AE，CB⊥AE，（2）的關鍵是證得∠BGF是二面角B-AC-E的平面角．