Question

【題目】如圖， 是邊長為 的正方形， 平面 ， ， ， 與平面 所成角為 ．

（Ⅰ）求證： 平面 ．
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
（Ⅲ）設點 是線段 上一個動點，試確定點 的位置，使得 平面 ，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ 平面 ， 平面 ，

∴ ，

又∵ 是正方形，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ．

（Ⅱ）解：∵ ， ， 兩兩垂直，所以建立如圖空間直角坐標系 ，

∵ 與平面 所成角為 ，即 ，

∴ ，

由 ，可知： ， ．

則 ， ， ， ， ，

∴ ， ，

設平面 的法向量為 ，則

，即 ，

令 ，則 ．

因為 平面 ，所以 為平面 的法向量，

∴ ，

所以 ．

因為二面角為銳角，

故二面角 的余弦值為 ．

（Ⅲ）解：依題意得，設 ，

則 ，

∵ 平面 ，

∴ ，即 ，解得： ，

∴點 的坐標為 ，

此時 ，

∴點 是線段 靠近 點的三等分點．

【解析】（1）證明線面垂直的要點就是在平面內找互兩條相交直線都與所證直線垂直。
（2）求二面角時，往往建立空間直角坐標系用兩個平面的法向量的夾角來求。
（3）要確定點 M 的位置，使得 AM∥平面BEF，可先設點M的坐標，則向量AM與平面的法向量垂直即可。