Question

已知m＞0，p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．
（I）若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若m=5，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過解不等式化簡命題p，將p是q的充分條件轉化為[-2，6]是[2-m，2+m]的子集，列出不等式組，求出m的范圍．
（II）將復合命題的真假轉化為構成其簡單命題的真假，分類討論，列出不等式組，求出x的范圍．

解答：解：p：-2≤x≤6．
（I）∵p是q的充分條件，
∴[-2，6]是[2-m，2+m]的子集
∴

m＞0 2-m≤-2 2+m≥6

⇒m≥4∴實數m的取值范圍是[4，+∞）．---------（6分）
（Ⅱ）當m=5時，q：-3≤x≤7．據題意有，p與q一真一假．--------------（7分）
p真q假時，由

-2≤x≤6 x＜-3或x＞7

⇒x∈φ---------（9分）
p假q真時，由

x＜-2或x＞6 -3≤x≤7

⇒-3≤x＜-2或6＜x≤7．---------（11分）
∴實數x的取值范圍為[-3，-2）∪（6，7]．---------（12分）

點評：判斷一個命題是另一個命題的什么條件，一般先化簡各個命題再利用充要條件的定義判斷；解決復合命題的真假問題常轉化為簡單命題的真假情況．