Question

【題目】關于數列有下列命題：
①數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=an﹣1（a∈R），則{an}為等差或等比數列；
②數列{an}為等差數列，且公差不為零，則數列{an}中不會有am=an（m≠n），
③一個等差數列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），則對于任意自然數n＞k，都有an＞0；
④一個等比數列{an}中，若存在自然數k，使akak+1＜0，則對于任意n∈N* ， 都有anan+1＜0，
其中正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：對于（1），數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=an﹣1（a∈R），
當a=0時，a1=﹣1，a2=a3=…=0，{an}既不是等差又不是等比數列，故①錯誤；
對于②，數列{an}為等差數列，且公差不為零，則數列{an}中不會有am=an（m≠n），
假設am=an（m≠n），則a1+（m﹣1）d=a1+（n﹣1）d，整理可得m=n，這與m≠n矛盾，
故假設不成立，原命題正確，即②正確；
對于③，一個等差數列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），由ak+1=ak+d知ak+d＞ak＞0，故d＞0，
所以，對于任意自然數n＞k，都有an＞0，③正確；
對于④，一個等比數列{an}中，若存在自然數k，使akak+1＜0，則q ＜0，即q＜0，
則對于任意n∈N* ， 都有anan+1=q ＜0，正確．
綜上所述，正確命題的序號是②③④．
所以答案是：②③④．
【考點精析】關于本題考查的命題的真假判斷與應用，需要了解兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能得出正確答案．