Question

已知函數的定義域為，且同時滿足以下三個條件：①；②對任意的，都有；③當時總有．
（1）試求的值；
（2）求的最大值；
（3）證明：當時，恒有．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）抽象函數求在特殊點的值，一般用賦值法，令代入抽象函數可得，又因為，可得.（2）在定義域內求抽象函數最值，一般先判斷函數單調性，再求比較定義域端點的函數值和極值點的大小.證明單調性可令，代入得進而得函數為增函數，最大值為；
（3）在上證不等式，要分兩段、.在上，，所以.在，，所以，進而得證.
試題解析：（1）令則有，所以有，有根據條件?可知，故.（也可令）
方法一：設，則有，即為增函數（嚴格來講為不減函數），所以，故.
方法二：不妨令，所以由?，即增函數（嚴格來講為不減函數），所以，故.
（3）當，有，又由?可知，所以有對任意的恒成立.當，又由?可知，所以有對任意的恒成立.綜上，對任意的時，恒有.
考點：1.抽象函數求值和單調性；2.證明不等式.