Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面上的三個向量，其中

a

=（1，2）．
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐標．
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，求

a

與

b

的夾角θ

Answer 1

分析：（1）設出

c

的坐標，利用它與

a

平行以及它的模等于2

5

，待定系數法求出

c

的坐標．
（2）由

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，數量積等于0，求出夾角θ的余弦值，再利用夾角θ的范圍，求出此角的大小．

解答：解：（1）設

c

=(x，y)（1分）
∵

c

∥

a

且|

c

|=2

5

∴

2x-y=0 x2+y2=20

，（3分）
∴x=±2（5分）
∴

c

=（2，4）或

c

=（-2，-4）（6分）
（2）∵（

a

+2

b

）⊥（2

a

-

b

）
∴（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=0（8分）
∴2

a

²+3

a

•

b

-2

b

²=0
∴2|

a

|²+3|

a

|•|

b

|cosθ-2|

b

|²=0
∴2×5+3×

5

×

5

2

cosθ-2×

5

4

=0
∴cosθ=-1（10分）
∴θ=π+2kπ
∵θ∈[0，π]
∴θ=π（12分）

點評：本題考查平面上2個向量平行、垂直的條件，以及利用2個向量的數量積求2個向量的夾角．