Question

（本大題12分）如圖，在棱長為ɑ的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點．
（1）求直線C與平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求證：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（3）求證：平面AA₁C⊥面EFG ．

Answer 1

（1） ； （2）見解析；（3）見解析。

試題分析：(1)因為平面ABCD,所以為與平面ABCD所成角,
然后解三角形求出此角即可.
（2）證明面面平行根據判定定理只須證明平面平面A B₁D₁內兩條相交直線和分別平行于平面EFG即可.在證明線面平行時又轉化為證明線線平行.
(3)易證：BD平面AA₁C，再證明EF//BD，因而可證出平面AA₁C⊥面EFG.
（1）∵平面ABCD=C，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
平面ABCD
∴AC為在平面ABCD的射影
∴為與平面ABCD所成角……….2分
正方體的棱長為
∴AC=，=
                  ………..4分
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
連接BD，∥，=
 為平行四邊形
∴∥∵E，F分別為BC，CD的中點
∴EF∥BD∴EF∥…………3分
∵EF平面GEF，平面GEF
∴∥平面GEF              …………7分
同理∥平面GEF∵=
∴平面A B₁D₁∥平面EFG        ……………9分
（3）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁∴  平面ABCD
∵EF平面ABCD
∴ EF             …………10分
∵ABCD為正方形
∴ACBD
∵EF∥BD
∴AC EF             ………..11分

∴EF平面AA₁C
∵EF平面EFG
∴平面AA₁C⊥面EFG        …………….12分.
點評：斜線與平面所成的角就是斜線與它在這個平面內的射影所成的角，因而關鍵是找到它在這個平面內的射影.面面垂直（平行）證明要轉化為證明線面垂直（平行）再轉化為線線垂直（平行）.