Question

點P（x，y）是曲線C：y=（x＞0）上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點O是坐標原點．給出三個命題：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周長有最小值4+2；
③曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
其中真命題的個數是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：先利用導數求出過點P的切線方程：①由切線方程可求得點A、B的坐標，進而利用兩點間的距離公式即可證明；②先利用兩點間的距離公式求出△OAB的周長，再利用基本不等式的性質即可證明；③先假設滿足條件的點M、N存在，利用等腰三角形的性質只要解出即證明存在，否則不存在．
解答：解：設動點P（m＞0），則，∴，
∴過動點P的切線方程為：．
①分別令y=0，x=0，得A（2m，0），B．
則|PA|=，，∴|PA|=|PB|，故①正確；
②由上面可知：△OAB的周長=≥+=4，當且僅當，即m=1時取等號．
故△OAB的周長有最小值4+2，即②正確．
③假設曲線C上存在兩點M，N，不妨設0＜a＜b，∠OMN=90°．
則，，
所以化為
解得，故假設成立．
因此③正確．
故選D
點評：理解導數的幾何意義、基本不等式的性質、兩點間的距離公式及等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．