Question

已知點P（x，y）是曲線y=

1-x2

上的動點，則點P到直線y=x+3的距離的最大值是

2

2

．

Answer 1

分析：利用三角換元，假設點的坐標，利用點到直線的距離公式，求出點P到直線y=x+3的距離，進而可求其最大值．

解答：解：∵點P（x，y）是曲線y=

1-x2

上的動點，
∴設P（cosα，sinα）（α∈[0，π]）
∴點P到直線y=x+3的距離為d=

|cosα-sinα+3|

2

=

| 2 cos(α+ π 4 )+3|

2

∵α∈[0，π]
∴α+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]
∴cos(α+

π

4

)∈[-1，

2

2

]
∴cos(α+

π

4

)=

2

2

時，

| 2 cos(α+ π 4 )+3|

2

取得最大值為2

2

即點P到直線y=x+3的距離的最大值是2

2

故答案為：2

2

點評：本題考查直線與圓的綜合運用，考查點到直線的距離，解題的關鍵是利用三角換元，假設點的坐標，再利用點到直線的距離公式，求出點P到直線y=x+3的距離