Question

【題目】“把你的心我的心串一串，串一株幸運草串一個同心圓…”一位數學老師一這句歌詞為靈感構造了一道名為《愛2017》的題目，請你解答此題：設O為坐標原點，直線l與圓C1：x2+y2=1相切且與圓C2：x2+y2=r2（r＞1）相交于A、B兩不同點，已知E（x1，y1）、F（x2，y2）分別是圓C1、圓C2上的點．

（1）求r的值；

（2）求△OEF面積的最大值；

（3）若△OEF的外接圓圓心P在圓C1上，已知點D（3，0），求|DE|2+|DF|2的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）r=2；（2）1；（3）[23﹣6，23+6].

【解析】試題分析：（1）直線l與圓C1：x2+y2=1相切的切點P是弦AB的中點，利用勾股定理，可得r的值；（2）當OE⊥OF時，△OEF面積取最大值；（3）△OEF的外接圓圓心P在圓C1上，則△OEF的外接圓與C2內切，且∠EOP=60°，不妨令P（cosα，sinα），則F（2cosα，2sinα），E（cos（α+60°），sin（α+60°）），結合點D（3，0），利用向量法結合三角函數，求出|DE|2+|DF|2的取值范圍．

試題解析：

（1）如圖所示，直線l與圓C1：x2+y2=1相切的切點P是弦AB的中點，

且OP⊥AB，AB=2AP=2，解得r=2；

（2）△OEF的面積S=|OE|×|OF|sin∠EOF，

故當OE⊥OF時，△OEF面積的最大值為：S=|OE|×|OF|=×1×2=1；

（3）△OEF的外接圓圓心P在圓C1上，

即PE=PF=PO=1，

則△OEF的外接圓與C2內切，且∠EOP=60°，

不妨令P（cosα，sinα），則F（2cosα，2sinα），E（cos（α+60°），sin（α+60°）），

∵點D（3，0），

∴=（cos（α+60°）﹣3，sin（α+60°）），=（2cosα﹣3，2sinα），

|DE|2+|DF|2=[cos（α+60°）﹣3]2+sin2（α+60°）+（2cosα﹣3）2+（2sinα）2

=23﹣15cosα+3sinα

=6sin（α﹣φ）+23，其中tanφ=，

故|DE|2+|DF|2的取值范圍為[23﹣6，23+6]