Question

設x=1與x=2是函數f(x)=alnx+bx²+x的兩個極值點.
(1)試確定常數a和b的值；
(2)試判斷x=1,x=2是函數f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.

Answer 1

(1) a=－,b=－, (2) 在x=1處函數f(x)取得極小值,在x=2處函數取得極大值－ln2

 f′(x)=+2bx+1
(1)由極值點的必要條件可知:f′(1)=f′(2)=0,
即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程組可得a=－,b=－,
∴f(x)=－lnx－x²+x
(2)f′(x)=－x^-1－x+1,當x∈(0,1)時，f′(x)＜0,
當x∈(1,2)時，f′(x)＞0,
當x∈(2,+∞)時，f′(x)＜0,
故在x=1處函數f(x)取得極小值,在x=2處函數取得極大值－ln2.