Question

一個同學在紙上寫了一個實系數二次方程x²+ax+b=0（ab≠0），如果此方程有兩實根，它們分別記為p，q，且p≤q，則他在紙上又寫一個方程x³+px+q=0，重復上面的工作，直到產生一個無實根的二次方程為止．
（1）當a=-34，b=48×14，紙上寫的實系數方程有

 

個；
（2）當a=-14，b=48時，這個同學在紙上寫的實系數方程至多有

 

個．

Answer 1

分析：（1）根據所給的事件，代入根的判別式，得到判別式小于0，可知該二次方程無實數根，從而得到結論；
（2）根據所給的兩個數據，寫出一元二次方程，解方程求出兩個解6.8，寫出第二個一元二次方程，求出結果，寫出第三個方程，再求出結果，寫出第四個方程無解．

解答：解：（1）當a=-34，b=48×14時
△＜0
∴實系數二次方程x²+ax+b=0（ab≠0）無實數根，
∴紙上寫的實系數方程有1個．
（2）學生所寫的一元二次方程是x²-14x+48=0
則方程的兩個根是6，8
∴寫出的第二個方程是x²+6x+8=0
則方程的根是-4，-2
∴寫出的方程是x²-4x-2=0，
則方程的根是2±

6

，再寫出來就沒有根了．
故這里最多能夠寫出4個方程．
故答案為：1；4

點評：本題考查一元二次方程的解，本題解題的關鍵是利用根的判別式和求方程的解說明方程的個數，本題是一個運算比較麻煩的題目．