Question

【題目】已知函數，其中為非零實數.

（1）求的極值；

（2）當時，在函數的圖象上任取兩個不同的點、.若當時，總有不等式成立，求正實數的取值范圍：

（3）當時，設、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求導，對分和兩種情況討論，分析函數的單調性，即可得出函數的極值；

（2）由，得出，構造函數，可知函數在區間上為減函數或常函數，解不等式，即可得出實數的取值范圍；

（3）時，構造函數，把看做主元，求導判斷即可．

（1），其中為非零實數，，.

①當時，，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增.

所以，函數有極小值；

②當時，，，函數單調遞增；時，，函數單調遞減.

所以，函數有極大值.

綜上所述，當時，函數有極小值；

當時，函數有極大值；

（2）當時，，，

當時，總有不等式成立，

即，構造函數，

由于，，

則函數在區間上為減函數或常函數，

，，解不等式，解得.

由題意可知，，因此，正實數的取值范圍是；

（3）時，根據（1），函數在上單調遞增，在上單調遞減.

構造函數，

當時，.

故函數在上單調遞增，

同理當時，，則函數在上單調遞減，

所以，函數的最大值為，故.

因此，成立.