Question

【題目】（本小題共14分）如圖，在三棱錐中， 底面

，點(diǎn)， 分別在棱上，且（Ⅰ）求證： 平面；（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時，求與平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅱ）.

【解析】【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，

∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，

∴，∴在Rt△ABC中， ，∴.∴在Rt△ADE中， ，∴與平面所成的角的大小.

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.

【解法2】如圖，以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知可得

.

（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴E為PC的中點(diǎn)，

∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵，

∴.∴與平面所成的角的大小.

（Ⅲ）同解法1.