Question

【題目】已知正四面體ABCD的棱長為2，球O與四面體的面ABC和面DBC都相切，其切點分別在△ABC和△DBC內(含邊界)，且球O與棱AD相切.

（1）證明：球O的球心在棱AD的中垂面上；

（2）求球O的半徑的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）設AD的中點為E，聯結EB、EC.

由△CAD、△BAD都為正三角形知，AD⊥EC，AD⊥EB.所以，AD⊥平面BEC，即平面BEC為AD的中垂面.又易知平面BEC為二面角A-BC-D的平分面.

設P為平面BEC內任一點，PQ⊥面ABC于Q，PR⊥面DBC于R.則BC⊥PQ，BC⊥PR.故BC⊥面PQR.設BC交面PQR于H，聯結PH、QH、RH.則PH⊥BC，QH⊥BC，RH⊥BC，∠OHR為二面角A-BC-D的平面角，PH平分∠OHR.從而，

Rt△PQH≌Rt△PRH，PQ=PR.

反之，若PQ=PR，則P在平面BEC內.

由于球心到平面ABC與平面DBC的距離相等，故球心O在平面BEC上.

（2） 如圖，設BC中點為F，聯結AF、DF、EF.

設∠AFD=2a，易得.

設球O與平面ABC和平面DBC的切點分別為M、N，AM交BC于G，聯結GD.

由對稱性知點N在GD上.

作EE’⊥F’D于E’，易知EE’⊥平面DBC，

且.

作NN’⊥BC于N’.設N’G= x，∠DGF=θ(-60°≤θ≤60°).

則.

故.

設球O的半徑為r，則

又在中，，所以，，

即.

代入式①化簡得.

從而，.

解得.

此吋，.

由，得.

即.

解得.

由切點在△4BC及△DBC內知.