Question

【題目】已知正項數列的前n項和為，數列滿足.

（1）求數列的通項公式；

（2）數列滿足，它的前n項和為，若存在正整數n，使不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或

【解析】

（1）由題意可得當時，，從而推出，則，從而可求出；

（2）易知，利用錯位相減法求得，從而有不等式成立，對分奇偶數討論，令，利用換元法化為二次函數，從而可求出答案．

解：（1），

當時，，或（舍去）

當時，由，得，

兩式相減得：，，

即，∴．

又∵數列為正項數列，故，也即，

∴數列為以1為首項1為公差的等差數列，

∴，；

（2）易知，則

①，

②，

①②可得：，

故，所以不等式成立，

若n為偶數，則，所以，

設，則在單調遞減，

故當時，，所以；

若n為奇數，則，所以

設，則在單調遞增，

故當時，，所以，

綜上所述，的取值范圍或.