Question

【題目】設是實數，已知奇函數,

（1）求的值；

（2）證明函數在R上是增函數;

（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)由奇函數的性質可得，可解得的值,驗證即可得結論；(2)由（1）的結論，可得，在已知區間上任取；作差、變形和定符號、由作差法分析可得結論；(3)根據題意,由函數的奇偶性與單調性分析，原不等式可以變形為，進而可得，求得的最小值，即可得結果.

（1）∵f（x）為R奇函數，∴f（0）=0，，

解得a=1

（2）由（1）的結論，，

設，則，

又由，，

則，

則函數在是增函數.

（3）∵f（x）為奇函數，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化為

f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），

又∵f（t）為增函數，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k．

當t=﹣時，3t2﹣2t有最小值﹣，∴k>-.