Question

【題目】已知直角所在平面外一點，且為斜邊的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，求證：平面．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）如圖，取中點，連結，在中，得到，再由為等腰三角形，得到，進而得到平面，得，再由，得到，由線面垂直的判定定理，即可得到結論．

（2）由為斜邊中點，得，由（1）可知，面，得，再利用線面垂直的判定定理，即可證得平面．

（1）如圖，取AB中點E，連結SE，DE，

在Rt△ABC中，D，E分別為AC、AB的中點，

∴DE∥BC，且DE⊥AB，

∵SA=SB，∴△SAB為等腰三角形，

∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，

∴AB⊥平面SDE，∵SD?面SDE，∴AB⊥SD，

在△SAC中，∵SA=SC，D為AC中點，

∴SD⊥AC，

∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，

∴SD⊥平面ABC．

（2）∵AB=BC，D為斜邊AC中點，∴BD⊥AC，

由（1）可知，SD⊥面ABC，

而BD?面ABC，∴SD⊥BD，

∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，

∴BD⊥面SAC．