Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1，（a，b是實數），x∈R，F(x)=

f(x)，(x＞0) -f(x)，(x＜0)

．
（1）若f（-1）=0并且函數f（x）的值域為[0，+∞），求函數F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，3]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1，f（-1）=0，知a-b+1=0，由x∈R，f（x）的值域為[0，+∞），知b²-4（b-1）=0，由此能求出函數F（x）的表達式．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，對稱軸方程是x=

k-2

2

，由此能求出當x∈[-2，3]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數時實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，f（-1）=0，
∴a-b+1=0，
∵x∈R，f（x）的值域為[0，+∞），
∴

a＞0 △=b2-4a=0

，
∴b²-4（b-1）=0，
即（b-2）²=0，∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴F（x）=

(x+1)2，(x＞0) -(x+1)2，(x＜0)

．…（6分）
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，
對稱軸方程是x=

k-2

2

，
由圖象可得，當

k-2

2

≤-2或

k-2

2

≥3，
即k≤-2或k≥8時，g（x）是單調函數．…（12分）

點評：本題考查二次函數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．