Question

設命題p：|4x-3|≤1，命題q：x²-（2a+1）x+a²+a≤0，若^?p是^?q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．0＜a＜

  1

  2

• B．a＜0，或a＞

  1

  2

• C．0≤a＜

  1

  2

• D．0≤a≤

  1

  2

Answer 1

分析：根據命題p和q，分別得到命題^?p和^?q對應的不等式，分別解不等式得到^?p和^?q對應的x的取值范圍．因為^?p是^?q的必要不充分條件，所以命題^?q對應的集合應該是命題^?p對應的集合的真子集，因此建立關于a的不等式組，解之可得實數a的取值范圍．

解答：解：∵命題p：|4x-3|≤1，
∴命題^?p：|4x-3|＞1，即4x-3＜-1或4x-3＞1
解之得^?p：x＜

1

2

或x＞1；
∵命題q：x²-（2a+1）x+a²+a≤0，
∴命題^?q：x²-（2a+1）x+a²+a＞0，
即（x-a）[x-（a+1）]＞0
解之得命題^?q：x＜a或x＞a+1；
∵^?p是^?q的必要不充分條件，
∴“^?q⇒^?p”成立且“^?p⇒^?q”不成立
因此，集合M={x|x＜

1

2

或x＞1}，
集合N={x|x＜a或x＞a+1}，且N是M的真子集，
∴

a≤ 1 2 a+1≥1

且等號不同時成立，
∴0≤a≤

1

2

故選D

點評：本題以兩個不等式的求解集的問題為載體，著重考查了充分必要條件的判斷、集合包含關系的判斷等知識點，屬于基礎題．