Question

數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，總有成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列的前項和為 ，且，求證：對任意實數（是常數，＝2．71828）和任意正整數，總有 2；
（3）正數數列中，．求數列中的最大項。

Answer 1

（1）．（）    （2）見解析      （3）

【錯解分析】（1）對的轉化，要借助于的關系。
（2）放縮法是此題的難點。
【正解】解：(1)由已知：對于，總有 ①成立
∴  （n≥2）②  
①--②得
∴
∵均為正數，∴  （n≥2）
∴數列是公差為1的等差數列
又n=1時，，解得=1∴．（）
（2）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤．
∴

（3）解：由已知 ，   

易得
猜想n≥2時，是遞減數列．令
∵當
∴在內為單調遞減函數．
由．
∴n≥2時，是遞減數列．即是遞減數列．
又 ，∴數列中的最大項為．