Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+1（0≤φ≤ ）的圖象相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π，且在x= 時(shí)取得最大值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)f（α）= ，且 ＜α＜ ，求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵若f（x）圖象上相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π，

∴三角函數(shù)的周期T=2π，即T= =2π，即ω=1，

則f（x）=sin（x+φ），

當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取得最大值，

即：sin（ +φ）=1，

即： +φ= +2kπ，k∈Z，

即：φ= +2kπ，k∈Z，

∵|φ|≤ ，

∴φ= ，

則函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=sin（x+ ）+1．

（2）解：令2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得：2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ，k∈Z，

可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z．

（3）解：∵f（α）=sin（α+ ）+1= ，可得：sin（α+ ）= ，

∵ ＜α＜ ，可得： ＜ ＜π，

∴cos（α+ ）=﹣ =﹣ ．

∴sinα=sin[（α+ ）﹣ ]=sin（α+ ）cos ﹣cos（α+ ）sin = ﹣（﹣ ）× = ．

【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別求出周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．（2）令2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（3）由f（α）= ，可得sin（α+ ）的值，可求范圍 ＜ ＜π，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（α+ ）的值，由于α=（α+ ）﹣ ，利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．