Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足an+2SnSn﹣1=0（n≥2），a1= ．
（1）求證：{ }是等差數列；
（2）求an的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵﹣an=2SnSn﹣1，

∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3）．

∴ ﹣ =2．

又 = =2，∴{ }是以2為首項，2為公差的等差數列

（2）解：由（1）， =2+（n﹣1）2=2n，∴Sn= ．

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =﹣ 〔或n≥2時，an=﹣2SnSn﹣1=﹣ 〕；

當n=1時，S1=a1= ．

∴an=

【解析】（1）本題關鍵是將an=Sn﹣Sn﹣1代入化簡，再根據等差數列的定義進行判定即可．（2）先求出Sn ， 利用Sn求an ， 必須分類討論an= ，求解可得．
【考點精析】利用等差關系的確定和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．