Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：如果對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有，則稱f（x）是R上凹函數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求證：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的凹函數(shù)；
（2）如果x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)凹函數(shù)定義即可驗(yàn)證；
（2）由|f（x）|≤1表示出關(guān)于a的不等式，利用分離參數(shù)法，根據(jù)x的取值范圍進(jìn)行分析可得答案．
解答：（1）證明：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈R，則=a（）²+-（+）=-
∵a＞0，，∴
∴
∴
∴當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的凹函數(shù)；
（2）解：由-1≤f（x）=ax²+x≤1，則有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0時(shí)，則a∈R恒成立，
（ii）若x∈（0，1]時(shí)，有 a≥--且a≤-+
∴a≥--=-（+）²+且a≤-+=（-）²-，
∵0＜x≤1，∴≥1．
∴當(dāng)=1時(shí)，-（+）²+的最大值為-（1+）²+=-2，（-）²-的最小值為（1-）²-=0
∴0≥a≥-2．
綜（i）（ii）知，0≥a≥-2
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義--凹函數(shù)，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．