Question

為了保護一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護罩內充入保護氣體．假設博物館需要支付的總費用由兩部分組成：①罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費用1千元；②需支付一定的保險費用，且支付的保險費用與保護罩容積成反比，當容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元．
（1）求博物館支付總費用y與保護罩容積V之間的函數(shù)關系式；
（2）求博物館支付總費用的最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定比例系數(shù)，再根據(jù)條件，即可確定博物館支付總費用y與保護罩容積V之間的函數(shù)關系式；
（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）設y=

k

x

，把x=2，y=8000代入，得k=16000…（3分）
y=1000(V-0.5)+

16000

V

=1000V+

16000

V

-500（V＞0.5）…（8分）
（2）y=1000V+

16000

V

-500≥7500…（11分）
當且僅當1000V=

16000

V

，即V=4立方米時不等式取得等號
所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關鍵是構建函數(shù)，注意基本不等式的使用條件．