Question

為了保護一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護罩內充入保護氣體．假設博物館需要支付的：？罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費用1千元；？需支付一定的保險費用，且支付的保險費用與保護罩容積成反比，當容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元．
（1）求需支付的保險費用ω與保護罩容積V之間的函數關系式；
（2）求博物館支付總費用y與保護罩容積V之間的函數關系式；
（3）求博物館支付總費用的最小值．

Answer 1

分析：（1）由支付的保險費用與保護罩容積成反比，當容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元，可求比例系數，從而可求ω與V之間的函數關系式；
（2）利用總費用由兩部分組成可建立函數關系式．罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費用1千元，則其費用為1000（V-0.5），結合（1）可得函數關系式；
（3）利用基本不等式可求最值，注意等號成立的條件．

解答：解：（1）設ω=

k

V

，∵8000=

k

2

，∴k=16000，∴ω=

16000

V

（1）由于罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費用1千元，則其費用為1000（V-0.5），所以總費用為y=1000(V-0.5)+

16000

V

=1000V+

16000

V

-500（V＞0.5）
（3）y=1000V+

16000

V

-500≥7500，當且僅當1000V=

16000

V

，即V=4立方米時不等式取得等號
答：博物館支付總費用的最小值為7500元．

點評：本題主要考查函數模型的建立及最值問題的研究，應注意基本不等式成立的條件．