Question

設函數f(x)=x³+ax²+bx在點x=1處有極值-2.
（1）求常數a,b的值；
（2）求曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積.

Answer 1

（1）a=0,b=-3（2）

 （1）由題意知f′(x)=3x²+2ax+b,

f(1)=-2且f′(1)=0,
即，解得a=0,b=-3,
即f(x)=x³-3x.
(2)作出曲線y=x³-3x的草圖，所求面積為陰影部分的面積，由x³-3x=0得曲線y=x³-3x與x軸的交點坐標是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x³-3x是R上的奇函數，函數圖象關于原點中心對稱.
所以(-,0)的陰影面積與(0, )的陰影面積相等.
所以所求圖形的面積為
S=2［0-(x³-3x)］dx
=-2（x⁴-x²）|=.