【題目】在平面直角坐標系
中，
，
是曲線段
：
（
是參數，
）的左、右端點，
是上異于，的動點，過點作直線
的垂線，垂足為
.
（1）建立適當的極坐標系，寫出點軌跡的極坐標方程；
（2）求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根據
的參數方程可得直角坐標方程
,求出端點
,
,求在處的切線斜率為和與
軸的交點坐標,由垂直關系得
的軌跡是以線段
為直徑的
圓弧（不含端點）,由此建立極坐標系,得出極坐標方程.
（2）設直線
與以
為圓心,
為半徑的圓交于兩點
,
,則根據半徑相等,由相交弦定理,得
,代入
,即可得出最大值.
解：（1）如圖,曲線段即為拋物線上一段,
端點
,
,
在處的切線斜率為
,與軸的交點坐標為
.
因為
,所以的軌跡是以線段為直徑的圓弧（不含端點）,
以線段的中點
為極點,射線
為極軸,建立極坐標系,
則點軌跡的極坐標方程為.
（2）設直線與以為圓心,為半徑的圓交于兩點,,
則
,
由相交弦定理,得
,
當,即
時,
最大,最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】人們常說的“幸福感指數”就是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標，常用區間
內的一個數來表示，該數越接近
表示滿意度越高．為了解某地區居民的幸福感情況，隨機對該地區的男、女居民各
人進行了調查，調查數據如表所示：
幸福感指數 |
|
|
|
|
|
男居民人數 |
|
|
|
|
|
女居民人數 |
|
|
|
|
|
（1）估算該地區居民幸福感指數的平均值；
（2）若居民幸福感指數不小于
，則認為其幸福．為了進一步了解居民的幸福滿意度，調查組又在該地區隨機抽取
對夫妻進行調查，用
表示他們之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的對數，求的期望（以樣本的頻率作為總體的概率）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一個半圓中有兩個互切的內切半圓,由三個半圓弧圍成曲邊三角形,作兩個內切半圓的公切線把曲邊三角形分隔成兩塊,阿基米德發現被分隔的這兩塊的內切圓是同樣大小的,由于其形狀很像皮匠用來切割皮料的刀子,他稱此為“皮匠刀定理”,如圖,若
,則陰影部分與最大半圓的面積比為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
，過點
的直線
，
分別交
于不同的兩點
、
，直線
恒過點
（1）證明：直線，的斜率之和為定值；
（2）直線，分別與
軸相交于
，
兩點，在軸上是否存在定點
，使得
為定值?若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，棱長為1的正方體
中，
為線段
的動點，則下列4個命題中正確的有（ ）個
（1）
（2）平面
平面
（3）
的最大值為
（4）
的最小值為
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在多面體
中，四邊形
為矩形，
，
均為等邊三角形，
，
.
（1）過
作截面與線段
交于點
，使得
平面
，試確定點的位置，并予以證明；
（2）在（1）的條件下，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓P與圓
：
內切，且與直線
相切，設動圓圓心
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過曲線上一點
（
）作兩條直線
，
與曲線分別交于不同的兩點
，
，若直線，的斜率分別為
，
，且
.證明：直線
過定點.
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