Question

在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時，有如下方法：
先改寫第k項：k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（K+1）]，
由此得：1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），…，
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
相加得：1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．
類比上述方法，請你計算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其結果寫成關于n的一次因式的積的形式為：

1

6

n（n+1）（2n+7）

．

Answer 1

分析：類比，先改寫第k項k（k+2）=

1

6

[k(k+1)(2k+7)-(k-1)k(2k+5)]，再累加，即可求得結論．

解答：解：由題意，k（k+2）=

1

6

[k(k+1)(2k+7)-(k-1)k(2k+5)]
由此得：1×3=

1

6

（1×2×9-0×1×7）），
2×3=

1

6

（2×3×11-1×2×9），
…，
n（n+2）=

1

6

[n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5)]
相加得：1×3+2×4+…+n（n+2）=

1

6

n（n+1）（2n+7）
故答案為：

1

6

n（n+1）（2n+7）

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．