Question

正四面體的內切球（與正四面體的四個面都相切的球）與外接球（過正四面體四個頂點的球）的體積比為（　　）

A．1：3

B．1：9

C．1：27

D．與正四面體的棱長無關

Answer 1

分析：作出正四面體A-BCD的高DE，延長CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF．在△CDG中加以研究，可得DE、CF的交點I就是內切球和外接球公共的球心，設正四面體棱長為1，可算出CE、GE、ED的長，利用Rt△DEG∽Rt△CEI得線段成比例，從而得出EI=

6

12

，DI=

6

4

，由此不難得到R與r的比值，從而得出體積比．

解答：解：過點D作DE⊥平面ABC，垂足為E，則E是正三角形ABC的中心
則根據球的對稱性和正四面體的性質，得外接球和內切球的球心在同一點處，設為I，則I在高線DE上
延長CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF，則I在CF上
I到平面ABC的距離IE等于內切球半徑r，ID=IC=R是外接球半徑
設正四面體棱長為1，則
正△ABC中，CG=

3

2

，CE=

2

3

CG═

3

3

，GE=

1

3

CG=

3

6

，
Rt△DEG中，DG=CG=

3

2

，可得DE=

DG2-GE2

=

6

3

∵Rt△DEG∽Rt△CEI，
∴

EG

EI

=

DE

CE

，即

3

6

：EI=

6

3

：

3

3

，可得EI=

6

12

，所以ID=DE-EI=

6

4

即r=

6

12

，R=

6

4

，
可得

R

r

=1：3，體積比為1：27．
故選C．

點評：本題給出正四面體的外接球與內切球，求它們的體積之比，著重考查了正四面體的性質和球的內接、外切幾何體等知識，屬于中檔題．