Question

正四面體的內切球（與正四面體的四個面都相切的球）與外接球（過正四面體四個頂點的球）的體積比為（ ）
A．1：3
B．1：9
C．1：27
D．與正四面體的棱長無關

Answer 1

【答案】分析：作出正四面體A-BCD的高DE，延長CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF．在△CDG中加以研究，可得DE、CF的交點I就是內切球和外接球公共的球心，設正四面體棱長為1，可算出CE、GE、ED的長，利用Rt△DEG∽Rt△CEI得線段成比例，從而得出EI=，DI=，由此不難得到R與r的比值，從而得出體積比．
解答：解：過點D作DE⊥平面ABC，垂足為E，則E是正三角形ABC的中心
則根據球的對稱性和正四面體的性質，得外接球和內切球的球心在同一點處，設為I，則I在高線DE上
延長CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF，則I在CF上
I到平面ABC的距離IE等于內切球半徑r，ID=IC=R是外接球半徑
設正四面體棱長為1，則
正△ABC中，CG=，CE=CG═，GE=CG=，
Rt△DEG中，DG=CG=，可得DE==
∵Rt△DEG∽Rt△CEI，
∴=，即 ：EI=：，可得EI=，所以ID=DE-EI=即r=，R=，
可得 =1：3，體積比為1：27．
故選C．
點評：本題給出正四面體的外接球與內切球，求它們的體積之比，著重考查了正四面體的性質和球的內接、外切幾何體等知識，屬于中檔題．