Question

如圖,經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A),要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米).如何設計, 可以使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．

Answer 1

參考解析

解析試題分析：假設角AMN的值為θ，由三角形AMN中角NAM為.由正弦定理可得到AM的表達式，在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值，由角θ的取值范圍，再根據三角函數的單調性知識即可得到結論.本小題用了五種解法分別從三角，坐標系，圓等方面入手.
解法一：設∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因為MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ）．       2分
在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).       4分
AP²＝AM²＋MP²－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin²(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ）cos(60°＋θ）                   6分
＝sin²(θ＋60°)－sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)．              10分
當且僅當2θ＋150°＝270°,即θ＝60°時,AP²取得最大值12,即AP取得最大值2.
答：設計∠AMN為60°時,工廠產生的噪聲對居民的影響最小．       12分

解法二(構造直角三角形)：
設∠PMD＝θ,在△PMD中,
∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.     2分
在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,
AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥時,結論也正確).     4分
AP²＝AD²＋PD²＝(sinθ＋2cosθ)²＋(2sinθ)²
＝sin²θ＋sinθcosθ＋4cos²θ＋4sin²θ             6分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－),θ∈(0,).          10分
當且僅當2θ－＝，即θ＝時，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2．
此時AM＝AN＝2,∠PAB＝30°            12分
解法三：設AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.
在△AMN中,因為MN＝2,∠MAN＝60°,
所以MN²＝AM²＋AN²－2 AM·AN·cos∠MAN,
即x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝4.          2分
因為＝,即＝,
所以sinα＝y,cosα＝＝＝.         4分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝