Question

已知函數f₁（x）=lg|x-p₁|，f₂（x）=lg（|x-p₂|+2）（x∈R，p₁，p₂為常數）
函數f（x）定義為對每個給定的實數x（x≠p₁），f(x)=

f1(x) f1(x)≤f2(x) f2(x) f2(x)≤f1(x)

（1）當p₁=2時，求證：y=f₁（x）圖象關于x=2對稱；
（2）求f（x）=f₁（x）對所有實數x（x≠p₁）均成立的條件（用p₁、p₂表示）；
（3）設a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b），若f（a）=f（b）求證：函數f（x）在區間[a，b]上單調增區間的長度之和為

b-a

2

．（區間[m，n]、（m，n）或（m，n]的長度均定義為n-m）

Answer 1

（1）當p₁=2時f₁（x）=lg|x-2|，∴f₁（2+x）=lg|2+x-2|=lg|x|，f₁（2-x）=lg|2-x-2|=lg|-x|∴f₁（2+x）=f₂（2-x），所以對稱軸為x=2
（2）若對任意實數f（x）=f₁（x），∴?x∈R，f₁（x）≤f₂（x）均成立
即lg|x-p₁|≤lg（|x-p₂|+2），由對數的單調性可知|x-p₁|≤|x-p₂|+2均成立，∴|x-p₁|-|x-p₂|≤2，又∵|x-p₁|-|x-p₂|的最大值為|p₁-p₂|
所以p₁，p₂滿足|p₁-p₂|≤2
（3）①當|p₁-p₂|≤2時，由（2）可知f（x）=f₁（x）=lg|x-p₁|
由（1）可知函數f（x）=f₁（x）關于x=p₁對稱，由f（a）=f（b），可知p1=

a+b

2

而f1(x)=

lg(x-p1)(x＞p1) lg(p1-x)(x＜p1)

由單調性可知，單調增區間長度為b-

a+b

2

=

b-a

2

②當|p₁-p₂|＞2時，不妨設a＜p₁＜p₂＜b，即p₂-p₁＞2，
當x＜p₁時，f₁（x）=lg（p₁-x）＜lg（p₂-x）＜f₂（x），所以f（x）=f₁（x）
當x＞p₂時，f₁（x）=lg（x-p₁）=lg（x-p₂-+p₂-p₁）＞f₂（x），所以f（x）=f₂（x）
當p1＜x＜p2時，y=f₁（x）與y=f₂（x）圖象交點的橫坐標為x0=

p1+p2

2

+1
由（1）知f（x）=

f1(x)a≤x≤x0(x≠p1) f2(x)x0＜x≤b

故由y=f₁（x）與y=f₂（x）單調性可知，增區間長度之和為（x₀-p₁）+（b-p₂），由于f（a）=f（b），得p₁+p₂=a+b+2
所以(x0-p1)+(b-p2)=b-

p1+p2

2

+1=

b-a

2

．
當p₁＞p₂時，同理可證增區間長度之和仍為

b-a

2

．