Question

（2013•寧德模擬）已知函數(shù)f₁（x）=

1

2

x²，f₂（x）=alnx（a∈R）•
（I）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)．f（x）=f₁（x）•f₂（x）的極值；
（II）若存在x₀∈[1，e]，使得f₁（x₀）+f₂（x₀）≤（a+1）x₀成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，lnx+

3

4x2

-

1

ex

＞0．
（說(shuō)明：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)為0的根與區(qū)間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值；
（II）根據(jù)題意存在x₀∈[1，e]，使得f₁（x₀）+f₂（x₀）≤（a+1）x₀成立，設(shè)g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）_min≤0即可，再利用導(dǎo)數(shù)工具得出g′（x），對(duì)a時(shí)行分類討論①當(dāng)a≤1時(shí)，②當(dāng)1＜a＜e時(shí)，③當(dāng)a≥e時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最小值，求出a的范圍，最后綜上得到實(shí)數(shù)a的取值范圍即可；
（III）問(wèn)題等價(jià)于x²lnx＞

x2

ex

-

3

4

，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

x2

ex

-

3

4

，利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值，從而列出不等式f（x）_min＞h（x）_max，即可證得結(jié)論．

解答：解：（I）f（x）=f₁（x）•f₂（x）=

1

2

x²alnx，
∴f′（x）=axlnx+

1

2

ax=

1

2

ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞e 

1

2

，由f′（x）＜0，得0＜x＜e 

1

2

．
∴函數(shù)f（x）在（0，e 

1

2

）上是增函數(shù)，在（e 

1

2

，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）的極小值為f（e 

1

2

）=-

a

4e

，無(wú)極大值．
（II）根據(jù)題意存在x₀∈[1，e]，使得f₁（x₀）+f₂（x₀）≤（a+1）x₀成立，
設(shè)g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x，則g（x）_min≤0即可，
又g′（x）=x+

a

x

-（a+1）=

(x-1)(x-a)

x

，
①當(dāng)a≤1時(shí)，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=

1

2

-（a+1）≤0，得-

1

2

≤a≤1．
②當(dāng)1＜a＜e時(shí)，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是減函數(shù)，
由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（a）=-

1

2

a²+alna-a=-

1

2

a²-a（1-lna）≤0恒成立，得1＜a＜e．
③當(dāng)a≥e時(shí)，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（e）=）=-

1

2

e²+a-ae-e≤0，得a≥

e2-2e

2(e-1)

，又

e2-2e

2(e-1)

＜e，∴a≥e．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍a≥

1

2

．
（III）問(wèn)題等價(jià)于x²lnx＞

x2

ex

-

3

4

，
由（I）知，f（x）=x²lnx的最小值為-

1

2e

，
設(shè)h（x）=

x2

ex

-

3

4

，h′（x）=-

x(x-2)

ex

得，函數(shù)h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）減，
∴h（x）_max=h（2）=

4

e2

-

3

4

，
因-

1

2e

-(

4

e2

-

3

4

)=

3e2-2e-16

4e2

=

(3e-8)(e+2)

4e2

＞0，
∴f（x）_min＞h（x）_max，
∴x²lnx＞

x2

ex

-

3

4

，∴l(xiāng)nx-（

1

ex

-

3

4x2

）＞0，
∴l(xiāng)nx+

3

4x2

-

1

ex

＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，先通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．