Question

在△ABC中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

，B為銳角．
（1）求角B的大小；
（2）設b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據向量平行的條件得到

3

2cos2 B 2 -1

=

-2sinB

cos2B

，利用二倍角的正弦、余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡可得tan2B的值，根據B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數值求出B即可；
（2）根據求出的B的度數和b等于2，由余弦定理得到一個關于a和c的關系式，利用基本不等式求出ac的最大值，利用面積公式表示出三角形的面積，根據ac的最大值即可得到面積的最大值．

解答：解：（1）由

m

∥

n

得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0
即sin2B=-

3

cos2B．即tan2B=-

3

．
又∵B為銳角，∴2B∈（0，π）．
∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

；

（2）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得a²+c²-ac-4=0．
又∵a²+c²≥2ac，代入上式得ac≤4（當且僅當a=c=2時等號成立）．
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

（當且僅當a=c=2時等號成立）．
∴△ABC面積的最大值為

3

．

點評：此題考查學生掌握向量平行時的條件，靈活運用余弦定理和三角形的面積公式化簡求值，靈活運用同角三角函數間的基本關系及特殊角的三角函數值化簡求值，會利用基本不等式求函數的最值，是一道綜合題．