Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，又△ABC的面積等于6．
（1）求△ABC的三邊之長；
（2）設P是△ABC（含邊界）內一點，P到三邊AB、BC、CA的距離分別為d₁、d₂、d₃，求d₁+d₂+d₃的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設三邊分別為a，b，c，利用正弦定理和余弦定理將題中條件角的關系轉化成邊的關系，得到直角三角形ABC，再結合向量條件利用三角形面積公式即可求出三邊長．
（2）欲求d₁+d₂+d₃的取值范圍，利用坐標法，將三角形ABC放置在直角坐標系中，通過點到直線的距離將求d₁+d₂+d₃的范圍轉化為故d1+d2+d3=

x+2y+12

5

．最后結合線性規劃的思想方法求出范圍即可．

解答：解：（1）設三角形三內角A、B、C對應的三邊分別為a，b，c，
∵sinB=cosAsinC，∴cosA=

sinB

sinC

，由正弦定理有cosA=

b

c

，
又由余弦定理有cosA=

b2+c2-a2

2bc

，∴

b

c

=

b2+c2-a2

2bc

，即a²+b²=c²，
所以△ABC為Rt△ABC，且∠C=90°（3分）
又

AB • AC = AB |• AC |cos A=9(1) S△ABC= 1 2 AB |? AC |sin A=6(2)

（1）÷（2），得tanA=

4

3

=

a

b

（4分）
令a=4k，b=3k（k＞0）
則S△ABC=

1

2

ab=6?k=1∴三邊長分別為3，4，5（6分）
（2）以C為坐標原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標系，
則A、B坐標為（3，0），（0，4），直線AB方程為4x+3y-12=0．
設P點坐標為（x，y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d₁，d₂和d₃
可知d1+d2+d3=x+y+

|4x+3y-12|

5

，（8分）
且

x≥0 y≥0 4x+3y-12≤0.

故d1+d2+d3=

x+2y+12

5

．（10分）
令m=x+2y，由線性規劃知識可知，如圖：
當直線分別經過點A、O時，z取得最大、最小值．
故0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范圍是[

12

5

，4]（12分）

點評：本題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量數量積的運算、簡單線性規劃思想方法的應用，屬于中檔題．