Question

（2013•青浦區一模）如圖已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為6的正方形，側棱PA的長為8，且垂直于底面，點M、N分別是DC、AB的中點．求
（1）異面直線PM與CN所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（2）四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）解法 一：連接AM，∵底面ABCD是邊長為6的正方形，點M、N分別是DC、AB的中點，可得AN

∥

.

CM，于是四邊形AMCN是平行四邊形，可得CN∥AM，因此∠PMA（為銳角）是異面直線PM與CN所成角，利用直角三角形的邊角關系求出即可．
解法二：以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角公式即可得出異面直線所成的角；
（2）由PA垂直于底面，利用線面垂直的性質定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用線面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面積計算公式分別計算即可．

解答：解：（1）解法 一：連接AM，∵底面ABCD是邊長為6的正方形，點M、N分別是DC、AB的中點，
∴AN

∥

.

CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
∴CN∥AM，
∴∠PMA（為銳角）是異面直線PM與CN所成角．   
因為PA垂直于底面，所以PA⊥AM，
點M分別是DC的中點，DC=6，∴AM=3

5

．
在Rt△PAM中，PA=8，AM=3

5

，
∴tan∠PMA=

8

3 5

=

8 5

15

，
∴∠PMA=arctan

8 5

15

，
即異面直線PM與CN所成角的大小為arctan

8 5

15

．
解法二：以A為坐標原點建立空間直角坐標系，
可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），
∴

PM

=(3，6，-8)，

CN

=(-3，-6，0)，
直線PM與CN所成角為θ，向量

PM

與

CN

的夾角為?，
∵cos?=

PM • CN

| PM || CN |

=

-45

109 • 45

=-

3 545

109

，
又cosθ=|cos?|=

3 545

109

，θ=arccos

3 545

109

，
即異面直線PM與CN所成角的大小為arccos

3 545

109

．
（2）因為PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，
又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PAD，
∵底面四邊形ABCD是邊長為6的正方形，所以S_底=36
又S_側=S_△PAB+S_△PAD+S_△PBC+S_△PCD=2×(

1

2

PA•AB)+2×(

1

2

PB•BC)=48+60=108．
S_表=108+36=144
所以四棱錐P-ABCD的表面積是144．

點評：本題綜合考查了利用“平移法”和通過建立空間直角坐標系利用向量的方向向量的夾角求異面直線的夾角、線面垂直的判定與性質、四棱錐的表面積等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．