Question

 [番茄花園1] 如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，，，，為的中點.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

---

 [番茄花園1]18.

Answer 1

【答案】

 [番茄花園1] (綜合法)(Ⅰ)證：設與交于點，則為的中點.連、，

又為的中點，∴.又，∴.

∴四邊形為平行四邊形.

∴.而平面，∴平面.

(Ⅱ)證：由四邊形是正方形，有.又，

∴.

而，∴平面.∴，.

又，為的中點，∴.

∴平面，∴.

又，∴.

又，，∴平面.

(Ⅲ)解：，，∴平面.

在平面內過點作交的延長線于，則為二面角的一個平面角.

設，則，，.

又，∴.∴.

，，∴.

(向量法)：

∵四邊形為正方形，∴，又，

∴.

又，∴平面.

∴，∴.

又，為的中點，∴，∴平面.

以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示坐標系.

設，則，，，，，.

(Ⅰ)證：設與交于點，連、，則，

∴，又，∴.

平面，不在平面內，∴平面.

(Ⅱ)證：，，，∴.

設平面的法向量為，

則，，

∴，，即.

，.

設平面的法向量為，

則，，，，故.

，

∴，即二面角為.

 

---

 [番茄花園1]18.