Question

 [番茄花園1] 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F為線段A’C的中點。

（Ⅰ）求證：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A’DE所成角的余弦值。

 

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 [番茄花園1]1.

Answer 1

【答案】

 [番茄花園1] .解析：本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，線面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力。

 (Ⅰ)證明：取A′D的中點G，連結GF，CE，由條件易知

FG∥CD，FG=CD.

BE∥CD,BE=CD.

所以FG∥BE,FG=BE.

故四邊形BEGF為平行四邊形,

所以BF∥EG

因為平面，BF平面

所以 BF//平面

（Ⅱ）解：在平行四邊形,ABCD中，設BC=a

  則AB=CD=2a,  AD=AE=EB=a,

  連CE

  因為

在△BCE中，可得CE=a,

在△ADE中，可得DE=a,

在△CDE中，因為CD²=CE²+DE²，所以CE⊥DE,

在正三角形A′DE中，M為DE中點，所以A′M⊥DE.

由平面A′DE⊥平面BCD,

可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.

取A′E的中點N，連線NM、NF，

所以NF⊥DE,NF⊥A′M.

因為DE交A′M于M,

所以NF⊥平面A′DE,

則∠FMN為直線FM與平面A′DE新成角.

在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a,

則cos=.

所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為.

證明：存在實數，使得 按某種順序排列后的等差數列，并求

 

 

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 [番茄花園1]20.