Question

如圖，在四棱柱中，側棱底面,

（Ⅰ）求證：平面
（Ⅱ）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值
（Ⅲ）現將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式。（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1（Ⅲ）共有種不同的方案

（Ⅰ）取中點，連接

，               
四邊形為平行四邊形
且
在中，

,即，又，所以
平面，平面
，又，
平面
（Ⅱ）以為原點，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，，，
所以，，
設平面的法向量，則由
得取，得
設與平面所成角為，則
，解得．故所求的值為1
（Ⅲ）共有種不同的方案

立體幾何第一問對于關系的決斷往往基于對公理定理推論掌握的比較熟練，又要善于做出一線輔助線加以證明，那么第二問就可以在其基礎上采用坐標法處理角度或者距離問題，坐標法所用的公式就必需熟練掌握，第三問主要考查了學生的空間思維能力，要在平時多加練習。此題坐標法也很考驗學生的計算功底。
【考點定位】 本題主要考查立體幾何中線線關系線面關系的判斷以及線面角的算法，并且通過第三問的設問又把幾何體的表面積與函數巧妙的結合起來，計算和空間思維要求比較高。屬于難題。