Question

（本小題滿分12分）
已知一四棱錐P－ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點。

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積；
（Ⅱ）當點E在何位置時，BD⊥AE？證明你的結論;
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）不論點E在何位置，都有BD⊥AE；（Ⅲ）。

試題分析：（Ⅰ）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC="2."

∴----------------------------2分
(Ⅱ) 不論點E在PC上何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------3分
證明如下：連結AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-----------5分
又∵∴BD⊥平面PAC　
∵不論點E在何位置，都有AE平面PAC 
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分
(Ⅲ) 解法一：在平面DAE內過點D作DG⊥AE于G，連結BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴≌
∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴為二面角D－EA－B的平面角--------------------------10分
∵BC⊥DE,   AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rｔ△ADE中==BG
在△DGB中，由余弦定理得
∴=-----------------------12分

[解法二：以點C為坐標原點，CD所在的直線為ｘ軸建立空間直角坐標系如圖示：
則,從
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為
由可得：，
同理得：。令，則，
∴------10分
設二面角D－AE－B的平面角為，則 ∴------12分
點評：二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角，但結果往往求不對，出現的問題就是計算錯誤。