Question

如圖,S是正方形ABCD所在平面外一點，且SD⊥面ABCD ,AB=1，SB=.

(1)求證：BCSC;
(2) 設M為棱SA中點,求異面直線DM與SB所成角的大小
(3) 求面ASD與面BSC所成二面角的大小;

Answer 1

(1) 先證BC⊥平面SDC    (2) 異面直線DM與SB所成的角為90°(3) 面ASD與面BSC所成
的二面角為45°

試題分析：(1)∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D,
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC.
（2）取AB中點P，連結MP，DP.
在△ABS中,由中位線定理得MP//SB,或其補角為所求.
,又
∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²， 
即異面直線DM與SB所成的角為90°.
(3).∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，
∴可把四棱錐S—ABCD補形為長方體A₁B₁C₁S—ABCD，
如圖2,面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面
BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A₁S， ∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD為所求二面角的平面角.
在R t△SCB中，由勾股定理得SC=，在R t△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°.
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解題
時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．