Question

兩非零向量

a

，

b

滿足：2

a

-

b

與

b

垂直，集合A={x|x²+（|

a

|+|

b

|）x+|

a

||

b

|=0}是單元素集合．
（1）求

a

與

b

的夾角
（2）若關于t的不等式|

a

-t

b

|＜|

a

-m

b

|的解集為空集，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a

•

b

=

b 2

2

，|

a

|=|

b

|，代入夾角公式可得答案；
（2）由（1）可把不等式轉化為：t²-t+m-m²≥0對一切t∈R恒成立，可得△=1-4（m-m²）≤0，解之即可．

解答：解：（1）由2

a

-

b

與

b

垂直得(

a

-

b

)•

b

=0，即

a

•

b

=

b 2

2

，
由A={x|x²+（|

a

|+|

b

|）x+|

a

||

b

|=0}是單元素集合得：
△=(|

a

|+|

b

|)2-4|

a

||

b

|=0，即|

a

|=|

b

|，
設

a

與

b

的夾角為θ，由夾角公式可得cosθ=

a • b

| a || b |

=

1 2 b 2

| b |2

=

1

2

，
故θ=

π

3

，故

a

與

b

的夾角為

π

3

（2）關于t的不等式|

a

-t

b

|＜|

a

-m

b

|的解集為空集，則
不等式|

a

-t

b

|≥|

a

-m

b

|的解集為R，
從而

a

2-2

a

•

b

×t+t2

b

2≥

a

2-2

a

•

b

×m+m2

b

2對一切t∈R恒成立，
將

a

2=

b

2，2

a

•

b

=

b

2代入上式得：t²-t+m-m²≥0對一切t∈R恒成立，
∴△=1-4（m-m²）≤0，即（2m-1）²≤0，解得m=

1

2

點評：本題為向量的綜合應用，涉及夾角公式和不等式的恒成立問題，屬中檔題．