Question

設函數f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值為M，若有10個互不相等的正數x_i滿足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），則x₁+x₂+…+x₁₀=

140π

3

．

Answer 1

分析：由f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)=2sin（2x+

π

6

），知f（x）周期為T=π，f（x_i）=M為最大值，由2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，x_i=kπ+

π

6

，且x_i＜10π，知x₁=

π

6

，x₂=π+

π

6

，x₃=2π+

π

6

，…，x₁₀=9π+

π

6

，由此能求出x₁+x₂+…+x₁₀．

解答：解：∵f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)
=cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x）周期為T=π，f（x_i）=M為最大值，
∵2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，x_i=kπ+

π

6

，且x_i＜10π，
所以x₁=

π

6

，x₂=π+

π

6

，x₃=2π+

π

6

，…，x₁₀=9π+

π

6

，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（0+1+2+3+…+9）π+10•

π

6

=

140π

3

．
故答案為：

140π

3

．

點評：本題考查正弦函數的定義域和值域的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．