Question

【題目】如圖，橢圓經過點，離心率，直線的方程為.

求橢圓的方程；

是經過右焦點的任一弦（不經過點），設直線與直線相交于點，記， ， 的斜率為， ， .問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在常數符合題意.

【解析】試題分析：（1）由題意將點P （1， ）代入橢圓的方程，得到，再由離心率為e=，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標準方程；

（2）方法一：可先設出直線AB的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓的方程并整理成關于x的一元二次方程，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數的關系求得x1+x2=， ，再求點M的坐標，分別表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數的值；

方法二：設B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直線FB的方程為，由此方程求得M的坐標，再與橢圓方程聯立，求得A的坐標，由此表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數的值

試題解析：

由在橢圓上得， ①

依題設知，則②

②帶入①解得， ， .

故橢圓的方程為.

由題意可設的斜率為，

則直線的方程為③

代入橢圓方程并整理，得，

設， ，則有

， ④

在方程③中令得， 的坐標為 .

從而， ， .

注意到， ， 共線，則有，即有.

所以⑤

④代入⑤得，

又，所以，故存在常數符合題意.