Question

【題目】如圖， 為圓的直徑，點， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當的長為何值時，二面角的大小為．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）先根據面面垂直性質定理得平面，即得，再根據圓性質得，根據線面垂直判定定理得平面，，最后根據面面垂直判定定理得結論（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組求各面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據向量夾角與二面角關系建立方程，求出的長

試題解析：（Ⅰ）∵平面平面，

平面平面，∴平面，

∵平面，∴，

又∵為圓的直徑，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面

（Ⅱ）

設中點為，以為坐標原點， 方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）．設，則點的坐標為，則，又，∴，

設平面的法向量為，則，即，

令，解得．

∴．

由（1）可知平面，取平面的一個法向量為，

∴，即，解得，

因此，當的長為時，平面與平面所成的銳二面角的大小為60°。