Question

2009年12月底某房產公司一次性從銀行貸款7億，自籌資金3億，總共10億投資開發一個新的樓盤，此時銀行貸款的月利息0.5%，存款的月利息0.3%（除稅后），該公司計劃從2010年1月底開始每月向銀行等額歸還本金和利息，并計劃用24個月還清全部本金和利息，已知這家房產公司開發的這個新樓盤共建12棟高樓，每棟25層，每層4戶，第1層每戶賣90萬，第2層每戶賣92萬元，自第2層到第13層，以后每升高一層加2萬．14層在13層的基礎上減2萬，以后每升高一層減2萬，假設這家房產公司從開始開發到售完所有房屋僅用2年時間；且買地、買建筑材料，人工成本等各項總開支為6120萬元．（數據：1.005²⁴≈1.127，1.005¹²≈1.062，存款不計復利，貸款計復利，且銀行月利息始終固定不變）
（1）在這一樓盤開發過程中，銀行共獲得了多少利息？（精確到萬元）
（2）這家地產公司開發完這個樓盤，共獲得了多少凈收入？（凈收入=地產純收入-自有資金存入銀行的所得利息，不計復利，精確到萬元）

Answer 1

解：（1）設該公司每月還款數目為x億元，則一月后，欠銀行余額為（7×1.005-x）億元
二月后，欠銀行余額為（7×1.005-x）×1.005-x=7×1.005²-x（1+1.005）億元
24月后，欠銀行余額為7×1.005²⁴-x（1+1.005+…+1.005²³）=0
∴x=≈0.3106
∴銀行共獲得的利息為24x-7=4544萬元
（2）每棟的銷售收入為（90+92+…+114+112+…+92+90）×4=10152萬元
∴整個樓盤的銷售收入為10152×12=121824萬元
∴整個樓盤的純收入為12.1824-0.3106×24-3=1.728億元
又若將資金存入銀行可獲利息為：30000×0.003×24=2160萬元
所以這家地產公司開發完這個樓盤，共獲得了凈收入17280-2160-6120=9000萬元．
分析：（1）設該公司每月還款數目為x億元，可求得24月后，欠銀行余額為7×1.005²⁴-x（1+1.005+…+1.005²³）=0，進而可求銀行共獲得的利息；
（2）計算每棟的銷售收入，可得整個樓盤的銷售收入、純收入，求出資金存入銀行可獲利息，即可求得這家地產公司開發完這個樓盤，共獲得了的凈收入．
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查數列模型，考查等差數列與等比數列的求和，屬于中檔題．