Question

為美化環境，某地決定在一個大型廣場建一個同心圓形花壇，花壇分為兩部分，中間小圓部分種植草坪，周圍的圓環分為n（n≥3，n∈N）等份種植紅、黃、藍三色不同的花．要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．如圖①，圓環分成的3等份分別為a₁，a₂，a₃，有6種不同的種植方法．

（1）如圖②，圓環分成的4等份分別為 a₁，a₂，a₃，a₄，有    種不同的種植方法；
（2）如圖③，圓環分成的n（n≥3，n∈N）等份分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，有    種不同的種植方法．

Answer 1

【答案】分析：（1）遇到這種需要找規律的問題，首先做比較簡單的情況，看圖一先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同，由分步計數原理得到結果．
（2）由題意知圓環分為n等份，做法同前兩種情況類似，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、、n-1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色．在這種情況下要分類，一類是a_n與a₁不同色的種法，另一類是a_n與a₁同色的種法，根據分類計數原理得到結果．
解答：解：（1）如圖①，先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，
∵a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同．
∴S（3）=3×2=6（種）
如圖②，S（4）=3×2×2×2-S（3）=18（種）．
故答案為 18．
（2）如圖3，圓環分為n等份，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、、a_n都有兩種不同的種法，
但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、、n-1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色．
于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為S（n）（n≥3）種．
另一類是a_n與a₁同色的種法，這時可以把a_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當于對n-1部分符合要求的種法，記為S（n-1）．
共有3×2^n-1種種法．
這樣就有S（n）+S（n-1）=3×2^n-1．
即S（n）-2ⁿ=-[S（n-1）-2^n-1]，則數列{S（n）-2ⁿ}（n≥3）是首項為S（3）-2³公比為-1的等比數列．
則S（n）-2ⁿ=[S（3）-2³]（-1）^n-3（n≥3）．
由（1）知：S（3）=6
∴S（n）=2ⁿ+（6-8）（-1）^n-3．
∴S（n）=2ⁿ-2•（-1）^n-3 ，
故答案為 2ⁿ-2•（-1）^n-3（n≥3且n∈N）．
點評：本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實際問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，把實際問題轉化為數學問題，和這道題目類似的題，作為高考題目考過，是一個易錯題．