Question

有三個生活小區，分別位于A，B，C三點處，且，．今計劃合建一個變電站，為同時方便三個小區，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，建立坐標系如圖，且．
（Ⅰ）若希望變電站P到三個小區的距離和最小，點P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三個小區的最遠距離為最小，點P應位于何處？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）方法一：∠PBO=α，表示出點P到A，B，C的距離之和為y，利用導數，求出函數的最小值；
方法二：設點P（0，b）（0≤b≤40），P到A，B，C的距離之和為，再利用導數求出函數的最小值．
（Ⅱ）設點P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，點P到A，B，C三點的最遠距離為g（b）求出
g（b）=，當0≤b≤5時，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數，當5＜b≤40時，在（5，40]上是增函數，推出g（b）＞g（5）=35，得到當b=5時，g（b）_min=35，這時點P在OA上距O點5km．
解答：解：在Rt△AOB中，y=k₂x，則（1分）
（Ⅰ）方法一：∠PBO=α（），
點P到A，B，C的距離之和為（5分），令y′=0即，
又，從而
當時，y′＜0；當時，y'＞0．
∴當時，取得最小值
此時，
即點P為OA的中點．（8分）
方法二：設點P（0，b）（0≤b≤40），
則P到A，B，C的距離之和為，
求導得（5分）
由f'（b）=0即，解得b=20
當0≤b＜20時，f′（b）＜0；當20＜b≤40時，f'（b）＞0
∴當b=20時，f（b）取得最小值，此時點P為OA的中點．（8分）
（Ⅱ）設點P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，
點P到A，B，C三點的最遠距離為g（b）
①若|PA|≥|PB|即，則g（b）=40-b；
②若|PA|＜|PB|即，則；
∴g（b）=（11分）
當0≤b≤5時，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數，∴g（b）_min=g（5）=35
當5＜b≤40時，在（5，40]上是增函數，∴g（b）＞g（5）=35
∴當b=5時，g（b）_min=35，這時點P在OA上距O點5km．（14分）
點評：本題考查兩點間距離公式的應用，利用導數求閉區間上函數的最值，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．