Question

有三個生活小區，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=20

7

，BC=40

3

．今計劃合建一個變電站，為同時方便三個小區，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，建立坐標系如圖，且∠ABO≈

2

7

π．
（Ⅰ）若希望變電站P到三個小區的距離和最小，點P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三個小區的最遠距離為最小，點P應位于何處？

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一：∠PBO=α，表示出點P到A，B，C的距離之和為y，利用導數，求出函數的最小值；
方法二：設點P（0，b）（0≤b≤40），P到A，B，C的距離之和為f(b)=40-b+2

b2+1200

(0≤b≤40)，再利用導數求出函數的最小值．
（Ⅱ）設點P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，點P到A，B，C三點的最遠距離為g（b）求出
g（b）=

40-b，(0≤b≤5) b2+1200 ，(5＜b≤40)

，當0≤b≤5時，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數，當5＜b≤40時，g(b)=

b2+1200

在（5，40]上是增函數，推出g（b）＞g（5）=35，得到當b=5時，g（b）_min=35，這時點P在OA上距O點5km．

解答：解：在Rt△AOB中，y=k₂x，則|OA|=

(20 7 )2-(20 3 )2

=40（1分）
（Ⅰ）方法一：∠PBO=α（0≤α≤

2

7

π），
點P到A，B，C的距離之和為y=2×

20 3

cosα

+40-20

3

tanα=40+20

3

×

2-sinα

cosα

（5分）y′=20

3

×

2sinα-1

cos2α

，令y′=0即sinα=

1

2

，
又0≤α≤

2

7

π，從而α=

π

6

當0≤α＜

π

6

時，y′＜0；當

π

6

＜α≤

2π

7

時，y'＞0．
∴當α=

π

6

時，y=40+20

3

×

2-sinα

cosα

取得最小值
此時OP=20

3

tan

π

6

=20

3

×

3

3

=20，
即點P為OA的中點．（8分）
方法二：設點P（0，b）（0≤b≤40），
則P到A，B，C的距離之和為f(b)=40-b+2

b2+1200

(0≤b≤40)，
求導得f′(b)=

2b

b2+1200

-1（5分）
由f'（b）=0即2b=

b2+1200

，解得b=20
當0≤b＜20時，f′（b）＜0；當20＜b≤40時，f'（b）＞0
∴當b=20時，f（b）取得最小值，此時點P為OA的中點．（8分）
（Ⅱ）設點P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，|PB|=|PC|=

b2+1200

點P到A，B，C三點的最遠距離為g（b）
①若|PA|≥|PB|即40-b≥

b2+1200

?0≤b≤5，則g（b）=40-b；
②若|PA|＜|PB|即40-b＜

b2+1200

?5＜b≤40，則g(b)=

b2+1200

；
∴g（b）=

40-b，(0≤b≤5) b2+1200 ，(5＜b≤40)

（11分）
當0≤b≤5時，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數，∴g（b）_min=g（5）=35
當5＜b≤40時，g(b)=

b2+1200

在（5，40]上是增函數，∴g（b）＞g（5）=35
∴當b=5時，g（b）_min=35，這時點P在OA上距O點5km．（14分）

點評：本題考查兩點間距離公式的應用，利用導數求閉區間上函數的最值，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．